『Pythonからはじめる数学入門』7章（後半） 初等解析問題を解く
の解説です。
7.5 高階微分と極大極小の計算
Derivativeクラスを使った微分オブジェクトのデフォルトは、 1階微分です。
高階微分をおこなうには、階数を第三引数に渡します。
ここでは、関数の1階微分と2階微分を使ってある区間の極大・極小を求める方法を示します。
定義域[-5,5]の関数
を考えます。
関数の極大値・極小値・最大値・最小値を求めるには、以下のように処理します。
#7.5 高階微分と極大極小の計算 from sympy import Symbol, solve, Derivative x = Symbol('x') f = x**5 - 30*x**3 + 50*x d1 = Derivative(f, x).doit() #1階微分 階数を引数に指定するが、1階のときは省略 print('1階微分: {0}'.format(d1)) critical_points = solve(d1) #関数の臨界点 print('critical_points: {0}'.format(critical_points)) A = critical_points[2] B = critical_points[0] C = critical_points[1] D = critical_points[3] d2 = Derivative(f, x, 2).doit() #2階微分 階数を引数に指定 print('2階微分: {0}'.format(d2)) #2階微分の値が負なら極大点、正なら極小点、0なら未決 print('B: {0}'.format(d2.subs({x:B}).evalf()) ) print('C: {0}'.format(d2.subs({x:C}).evalf()) ) print('A: {0}'.format(d2.subs({x:A}).evalf()) ) print('D: {0}'.format(d2.subs({x:D}).evalf()) ) #AとCは負なので極大点、BとDは正なので極小点 x_min = -5 #端点最小値 x_max = 5 #端点最大値 print('x_min: {0}'.format(f.subs({x:x_min}).evalf()) ) print('x_max: {0}'.format(f.subs({x:x_max}).evalf()) ) #最大値を求めるためには、端点とA,Cで比較 print('A: {0}'.format(f.subs({x:A}).evalf()) ) print('C: {0}'.format(f.subs({x:C}).evalf()) ) #点Aが最大値 #最小値を求めるためには、端点とB,Dで比較 print('B: {0}'.format(f.subs({x:B}).evalf()) ) print('D: {0}'.format(f.subs({x:D}).evalf()) ) #点Dが最小値
結果
1階微分: 5*x**4 - 90*x**2 + 50 critical_points: [-sqrt(-sqrt(71) + 9), sqrt(-sqrt(71) + 9), -sqrt(sqrt(71) + 9), sqrt(sqrt(71) + 9)] 2階微分: 20*x*(x**2 - 9) B: 127.661060789073 C: -127.661060789073 A: -703.493179468151 D: 703.493179468151 x_min: 375.000000000000 x_max: -375.000000000000 A: 705.959460380365 C: 25.0846626340294 B: -25.0846626340294 D: -705.959460380365
7.6 勾配上昇法を用いて最大値を求める
7.6.1 勾配上昇法のジェネリックなプログラム
7.6.2 初期値について一言
.6.3 ステップサイズとイプシロンの役割
7.7 関数の積分を求める
#7.7 関数の積分を求める #Integralオブジェクトで不定積分、定積分を扱う from sympy import Integral, Symbol x = Symbol('x') k = Symbol('k') i1 = Integral(k*x, x).doit() #関数k*xと積分する変数xでIntegralオブジェクトを作り積分を評価 print('関数kxの不定積分: {0}'.format(i1)) i2 = Integral(k*x, (x,0,2)).doit() #定積分は、変数x、下限0、上限2、といったセットをタプルで渡す print('関数kxの定積分(xが0から2をとる場合): {0}'.format(i2))
結果
関数kxの不定積分: k*x**2/2 関数kxの定積分(xが0から2をとる場合): 2*k
